用Welford算法实现LN的方差更新

【GiantPandaCV导语】 

前段时间debug LayerNorm的时候，看见Pytorch LayerNorm计算方差的方式与我们并不一样。它使用了一种在线更新算法，速度更快，数值稳定性更好，这篇笔记就当一篇总结。

1回顾常见的方差计算方法

Two-pass方法

这种方法就是方差的定义式了：

简单来说就是样本减去均值，取平方，然后再累加起来除以样本数量（这里就不再具体分总体方差和样本方差了）。

那为什么他叫Two-pass方法呢？因为他需要循环两遍原始数据：

• 第一遍统计，计算均值
• 第二遍再将样本值和均值计算，得到方差 当数据比较大的时候，两遍循环耗时也比较多

Naive方法

我们还知道方差和均值的一个关系式子

相比Two-pass方法，这种方法仅仅只需要遍历一遍数据。我们只需要在外面统计两个变量,sum 和 sum_square。

最后再分别计算两者的均值，通过上述关系式子得到结果

根据维基百科的介绍，前面这两种方法的一个共同缺点是，其结果依赖于数据的排序，存在累加的舍入误差，对于大数据集效果较差

Welford算法

此前大部分深度学习框架都采用的是Naive的计算方法，后续Pytorch转用了这套算法。

首先给出结果，我们再来进行一步步的推导：

其中表示前n个元素的均值

推导

首先我们推导均值的计算:

当为n+1的情况下：

方差的推导稍微有点复杂，做好心理准备！

首先我们回到Naive公式

我们看下n+1时候的情况

我们把n+1乘到左边，并把n+1的平方项单独拆出来

而根据前面计算我们可以把替换掉

而我们前面推导均值的时候推导过，此时替换进来

左右两遍，同时乘上N+1，并进行化简，可以得到：

把挪到右边就可以得到

而根据平方公式的特性有

我们将其中一项用前面推导得到的均值来进行转换

然后替换到前面的公式进行化简就可以得到最终结果

额外拓展：

这样子更新方差，每一次都可能会加一个较小的数字，也会导致舍入误差，因此又做了个变换：

每次统计：

最后再得到方差：

这个转换是一个等价转换，感兴趣的读者可以从头一项一项的推导。

2实现代码

简单用python写了个脚本

import numpy as np


def welford_update(count, mean, M2, currValue):
    count += 1
    delta = currValue - mean
    mean += delta / count
    delta2 = currValue - mean
    M2 += delta * delta2
    return (count, mean, M2)


def naive_update(sum, sum_square, currValue):
    sum = sum + currValue
    sum_square = sum_square + currValue * currValue
    return (sum, sum_square)


x_arr = np.random.randn(100000).astype(np.float32)

welford_mean = 0
welford_m2 = 0
welford_count = 0
for i in range(len(x_arr)):
    new_val = x_arr[i]
    welford_count, welford_mean, welford_m2 = welford_update(welford_count, welford_mean, welford_m2, new_val)
print("Welford mean: ", welford_mean)
print("Welford var: ", welford_m2 / welford_count)

naive_sum = 0
naive_sum_square = 0
for i in range(len(x_arr)):
    new_val = x_arr[i]
    naive_sum, naive_sum_square = naive_update(naive_sum, naive_sum_square, new_val)
naive_mean = naive_sum / len(x_arr)
naive_var = naive_sum_square/ len(x_arr) - naive_mean*naive_mean
print("Naive mean: ", naive_mean)
print("Naive var: ", naive_var)

更多的代码可以参考pytorch和apex实现：

pytorch moments实现：https://github.com/pytorch/pytorch/blob/master/aten/src/ATen/native/SharedReduceOps.h#L95-L113

apex实现：https://github.com/NVIDIA/apex/blob/master/csrc/layer_norm_cuda_kernel.cu#L11-L24

3参考资料

• wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Algorithms_for_calculating_variance#Welford's_online_algorithm
• https://changyaochen.github.io/welford/

笔者主要是根据上面这两个材料进行学习，第二个博客写的十分详细，还有配套的jupyter notebook代码跑，十分推荐。

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